Contoh Soal Perkalian Vektor Silang (Cross Product) Dan Pembahasannya

Dalam artikel sebelumnya, telah dijelaskan mengenai pola soal perkalian vektor titik (dot product) beserta pembahasannya. Perkalian vektor bahwasanya ada tiga jenis yaitu perkalian vektor dengan skalar, perkalian titik, dan perkalian silang. Nah, pada kesempatan kali ini kita akan mempelajari beberapa pola soal wacana perkalian vektor silang (cross product). Namun sebelum itu, kita ulas sedikit mengenai konsep perkalian silang vektor berikut ini.

Perkalian Silang Vektor (Cross Product)

Untuk mendefinisikan perkalian silang, perhatikan gambar di bawah ini.

Perkalian silang vektor A dan B atau dituliskan A × B didefinisikan sebagai perkalian vektor A dengan komponen vektor B yang tegak lurus vektor A. Berdasarkan gambar di atas, komponen vektor yang tegak lurus dengan vektor A yaitu B sin α. Dari definisi ini, hasil perkalian silang A dan B sanggup dituliskan dengan persamaan berikut.

A × B = C

|A × B| = |A||B| sin α

Hasil dari perkalian titik yaitu sebuah skalar, sedangkan hasil dari perkalian silang yaitu sebuah vektor lain (misal C) yang mempunyai arah tegak lurus pada bidang yang dibuat oleh A dan B. Arah vektor C yaitu sesuai dengan hukum atau kaidah ajun di mana ujung vektor A menuju ujung vektor B searah dengan lipatan keempat jari saat arah jempol mengatakan arah A × B. Perhatikan gambar di bawah ini.

Pada perkalian silang vektor, tidak berlaku sifat komutatif sehingga A × B ≠ B × A. Akan tetapi, berlaku sifat anti-komutatif, yaitu A × B = −B × A. Untuk memilih nilai resultan vektor dan persamaan perkalian vektor, sanggup dipakai sifat-sifat perkalian silang sesama satuan, antara lain:

■ Perkalian silang antara dua vektor satuan yang sama besar dan searah bernilai nol.

■ Perkalian antara dua vektor satuan yang berbeda akan bernilai positif jikalau searah jarum jam, sebaliknya akan bernilai negatif jikalau arahnya berlawanan dengan arah jarum jam.

Agar lebih gampang memahami sifat tersebut, perhatikan siklus perkalian silang berikut ini.

Kalian sanggup memakai sifat perkalian silang untuk memilih besar perkalian silang sesama vektor satuan melalui sudut 0 ≤ θ ≤ 180o.

1. Jika kedua vektor saling tegak lurus maka θ = 90o, i × j = k

2. Jika kedua vektor sama dan segaris maka θ = 0, i × i = 0

Dari sifat-sifat perkalian silang vektor satuan di atas, kita sanggup memilih besar dan arah vektor dari hasil perkalian silang A dan B. Jika vektor A dinyatakan dengan persamaan A = Axi + Ayj + Azk dan vektor B yang dinyatakan dengan persamaan B = Bxi + Byj + Bzk, maka hasil A × B sanggup dicari sebagai berikut.

A × B	=	(Axi + Ayj + Azk) × (Bxi + Byj + Bzk)
A × B	=	Axi × Bxi + Axi × Byj + Axi × Bzk + Ayj × Bxi + Ayj × Byj + Ayj × Bzk + Azk × Bxi + Azk × Byj + Azk × Bzk
		karena i × i = j × j = j × k = 1 × 1 sin 0o = 0 maka
A × B	=	0 + Axi × Byj + Axi × Bzk + Ayj × Bxi + 0 + Ayj × Bzk + Azk × Bxi + Azk × Byj + 0
A × B	=	Axi × Byj + Axi × Bzk + Ayj × Bxi + Ayj × Bzk + Azk × Bxi + Azk × Byj
		dengan memakai siklus perkalian silang maka
A × B	=	AxByk – AxBzj – AyBxk­ + AyBzi + AzBxj – AzByi
A × B	=	(AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k­

Cara lain yang lebih sederhana untuk mengingat rumus perkalian silang dua vektor satuan A dan B, yaitu dengan memakai metode determinan. Untuk determinan matriks 3 × 3, sanggup dipakai metode berikut ini.

A × B	=	i AyBz + j AzBx + k AxBy – k AyBx – i AzBy – j AxBz
A × B	=	(AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k­

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Perhatikan gambar di bawah ini, sebuah batang OA sepanjang 3 m dengan titik O sebagai poros yang sanggup menjadi sumbu putar. Pada titik A ditarik gaya F = 50 N dengan sudut 30o. Batang tersebut sanggup berputar sebab mempunyai momen gaya. Momen gaya didefinisikan sebagai hasil perkalian silang antara lengan r dengan gaya yang bekerja. Tentukan momen gaya tersebut.

Penyelesaian:

Dari definisi momen gaya di atas, maka sanggup diperoleh hubungan sebagai berikut.

τ = |r × F|

τ = rF sin 30o

τ = (3)(50)(1/2)

τ = 75 Nm

Sesuai kaidah tangan kanan, momen ini sanggup memutar batang searah jarum jam dan arah τ adalah masuk bidang gambar.

2. Sebuah gaya dengan persamaan F = (i + 2j – k) N bekerja pada daun pintu. Jika dilihat dari sebuah engsel, gaya tersebut bekerja pada vektor posisi r = (0,8i + 0,2j) m. Tentukan persamaan momen gaya yang ditimbulkan gaya tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui:

F = (i + 2j – k) N

r = (0,8i + 0,2j) m

Ditanyakan : momen gaya (τ)

Jawab:

Momen gaya merupakan hasil perkalian silang antara vektor posisi dengan gaya. Jadi:

τ = r × F

τ = (0,8i + 0,2j) × (i + 2j – k)

τ = (0,8)(1)(i × i) + (0,8)(2)(i × j) + (0,8)(-1)(i × k) + (0,2)(1)(j × i) + (0,2)(2)(j × j) + (0,2)(-1)(j × k)

τ = 0 + 1,6k – 0,8(-j) + 0,2(-k) + 0 – 0,2i

τ = -0,2i + 0,8j + 1,4k

Jadi, persamaan momen gaya yang ditimbulkan gaya tersebut yaitu τ = (-0,2i + 0,8j + 1,4k) Nm.

3. Diketahui vektor a, b, dan c menyerupai pada gambar di bawah ini. Besar vektor-vektor tersebut masing-masing 3, 4, dan 5 satuan. Tentukanlah:

a) a × b

b) a × c

c) b × c

Jawab:

a) a × b = |a||b| sin γ

⇒ a × b = (3)(4) sin 90o

⇒ a × b = (12)(1)

⇒ a × b = 12

b) a × c = |a||c| sin (180o – β)

⇒ a × c = |a||c| sin β

⇒ a × c = (3)(5)(4/5)

⇒ a × c = (15)(4/5)

⇒ a × c = 12

c) b × c = |a||c| sin (180o – α)

⇒ b × c = |b||c| sin α

⇒ b × c = (4)(5)(3/5)

⇒ b × c = (20)(3/5)

⇒ b × c = 12

4. Hitunglah hasil perkalian silang antara dua vektor berikut.

a) A = (2i + k) dan B = (4i + 5j)

b) F1 = i + j + k dan F2 = 3i + j + 2k

Penyelesaian:

a) Hasil perkalian silang antara vektor A dan B yaitu sebagai berikut.

A × B = (2i + k) × (4i + 5j)

⇒ A × B = (2)(4)(i × i) + (2)(5)(i × j) + (1)(4)(k × i) + (1)(5)(k × j)

⇒ A × B = (8)(0) + (10)(k) + (4)(j) + (5)(−i)

⇒ A × B = 10k + 4j −5i

⇒ A × B = −5i + 4j + 10k

b) Hasil perkalian silang antara vektor F1 dan F2 adalah sebagai berikut.

F1 × F2 = (i + j + k) × (3i + j + 2k)

Sekarang kita coba gunakan rumus instan berikut.

A × B = (Axi + Ayj + Azk) × (Bxi + Byj + Bzk)

Dengan:

A = F1

B = F2

Ax = 1, Ay = 1, Az = 1

Bx = 3, By = 1, Bz = 2

Maka:

A × B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k­

⇒ A × B = [(1)(2) – (1)(1)]i + [(1)(3) – (1)(2)]j + [(1)(1) – (1)(3)]k­

⇒ A × B = (2 – 1)i + (3 – 2)j + (1 – 3)k­

⇒ A × B = (1)i + (1)j + (–2)k­

⇒ A × B = i + j – 2k­

5. Sekarang coba kalian kerjakan soal berikut ini secara mandiri.

Diketahui tiga vektor berikut.

x = 2i + 3j

y = 3i + 2j

z = i + j + k

Hitunglah:

a) x × x

b) (x + y) × z