Contoh Soal Katrol Ganda Dan Jawabannya Lengkap

Pada kesempatan kali ini, penulis akan menunjukkan beberapa pola soal ihwal katrol ganda. Katrol ganda merupakan kombinasi dari katrol tetap dan katrol bergerak. Nah, sebelum masuk ke pembahasan pola soal, kita perlu mempelajari konsep ihwal Hukum Newton dan perjanjian tanda untuk gaya yang bekerja pada sistem katrol berikut ini.

Konsep Hukum Newton

Hukum I Newton	Hukum II Newton	Hukum III Newton
ΣF = 0	ΣF = ma	Faksi = −Freaksi
Keadaan benda: ■ diam (v = 0  m/s) ■ bergerak lurus beraturan atau GLB (v = konstan)	Keadaan benda: ■ benda bergerak lurus berubah beraturan atauGLBB (v ≠ konstan)	Sifat gaya agresi reaksi: ■ sama besar ■ berlawanan arah ■ terjadi pada 2 objek berbeda

Perjanjian Tanda

Gaya	Syarat
Gaya berharga positif	Jika searah dengan arah gerak benda (bisa dilihat dari arah percepatan gerak benda).
Gaya berharga negatif	Jika berlawanan dengan arah gerak benda.

Baiklah, kalau kalian sudah paham mengenai konsep Hukum Newton dan perjanjian tanda untuk gaya-gaya yang bekerja pada sistem katrol, sekarang saatnya kita bahas pola soal katrol ganda. Simak baik-baik uraian berikut ini.

1. Dua balok yaitu balok m1 dan balok m2 dihubungkan dengan seutas tali melalui sistem katrol gabungan. Balok m1dihubungkan pada katrol tetap sedangkan balok m2dihubungkan pada katrol bebas bergerak ibarat yang diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

Dari gambar di atas diketahui massa balok 1 yakni 2 kg, massa balok 2 yakni 10 kg dan percepatan gravitasi bumi sebesar 10 m/s2. Jika katrol licin serta massa tali dan katrol diabaikan, maka tentukanlah percepatan masing-masing balok dan gaya tegangan tali sistem!

Penyelesaian

Diketahui:

m1 = 2 kg

m2 = 10 kg

g = 10 m/s2

Ditanyakan: Percepatan dan gaya tegangan tali

Jawab

Pertama, kita gambarkan diagram gaya yang bekerja pada sistem katrol terlebih dahulu. Oleh sebab massa balok 2 lebih besar daripada massa balok 1 maka sistem akan bergerak “searah jarum jam” di mana balok 1 akan bergerak ke atas dan balok 2 akan bergerak ke bawah dengan percepatan masing-masing balok a1 dan a2. Diagram gaya pada sistem katrol ini ditunjukkan pada gambar berikut.

Untuk memilih besar percepatan serta gaya tegangan tali sistem, kita uraikan dahulu persamaan gerak (resultan gaya) dengan meninjau masing-masing balok secara terpisah memakai Hukum II Newton sebagai berikut.

Tinjau Balok 1

ΣFY = ma

T – w1 = m1a1

T – m1g = m1a1

T = m1a1 + m1g …………… Pers. (1)

Tinjau Balok 2

ΣFY = ma

w2 – 2T = m2a2

m2g – 2T = m2a2 …………… Pers. (2)

Subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) sebagai berikut.

m2g – 2(m1a1 + m1g) = m2a2

m2g – 2m1a1 – 2m1g = m2a2

2m1a1 + m2a2 = m2g – 2m1g …………… Pers. (3)

Untuk dua benda yang dihubungan pada katrol tetap dan katrol bebas, maka besar percepatan benda pada katrol tetap yakni dua kali besar percepatan benda pada katrol bebas. Secara matematis, kekerabatan percepatan balok 1 dan balok 2 yakni sebagai berikut.

a1 = 2a2 …………… Pers. (4)

Dengan demikian, apabila kita subtitusikan persamaan (4) ke dalam persamaan (3), maka kita peroleh persamaan berikut.

2m1(2a2) + m2a2 = m2g – 2m1g

4m1a2 + m2a2 = m2g – 2m1g

(4m1 + m2)a2 = (m2 – 2m1)g

a2 = (m2 – 2m1)g/(4m1 + m2) …………… Pers. (5)

Kemudian masukkan nilai-nilai yang diketahui dalam soal ke persamaan (5).

a2 = [10 – (2)(2)]10/[(4)(2) + 10]

a2 = (10 – 4)10/(8 + 10)

a2 = 60/18

a2 = 3,33 m/s2

Lalu kita masukkan nilai a2 ke dalam persamaan (4) sebagai berikut.

a1 = 2(3,33)

a1 = 6,66 m/s2

Jadi, besar percepatan balok 1 yakni 6,66 m/s2 sedangkan besar percepatan balok 2 yakni 3,33 m/s2. Untuk memilih besar gaya tegangan tali sistem, maka kita sanggup memasukkan nilai a1 ke persamaan (1) atau memasukkan nilai a2 ke persamaan (2).

T = m1a1 + m1g

T = (2)(6,66) + (2)(10)

T = 13,32 + 20

T = 33,32 N

Dengan demikian, besar gaya tegangan tali sistem yakni 33,32 Newton.

2. Tiga balok yaitu balok m1, m2 dan m3 dihubungkan dengan seutas tali melalui sistem katrol gabungan. Balok m1 dan m2dihubungkan pada katrol tetap dan terletak pada bidang datar sedangkan balok m3 menggantung pada katrol bebas bergerak ibarat yang diperlihatkan pada gambar berikut ini.

Dari gambar di atas, diketahui massa balok 1, 2 dan 3 berturut-turut yakni 2 kg, 3 kg dan 5 kg. Percepatan gravitasi bumi di daerah itu sebesar 10 m/s2. Keadaan tiga katrol tersebut yakni licin tepat serta massa tali dan katrol diabaikan. Tentukanlah gaya tegangan tali sistem dan percepatan masing-masing balok apabila bidang datar bernafsu dengan koefisien gesek balok 1 dan 2 masing-masing sebesar 0,2 dan 0,3.

Penyelesaian

Diketahui:

m1 = 2 kg

m2 = 3 kg

m3 = 5 kg

g = 10 m/s2

μ1 = 0,2 

μ2 = 0,3

Ditanyakan: Gaya tegangan tali dan percepatan

Jawab:

Pada bidang datar kasar, laju balok akan terhambat oleh gaya gesek sehingga percepatannya menjadi lebih kecil sedangkan gaya tegangan talinya menjadi lebih besar. Untuk memilih gaya tegangan tali dan percepatan ketiga balok pada kondisi bidang kasar, kita gambarkan terlebih dahulu diagram gaya sistem ibarat yang diperlihatkan pada gambar berikut.

Berdasarkan gambar diagram gaya di atas, maka resultan gaya pada masing-masing balok sanggup kita tentukan dengan memakai Hukum Newton sebagai berikut.

Tinjau Balok 1

ΣFY = 0

N1 – w1 = 0

N1 – m1g = 0

N1 = m1g

ΣFX = ma

T – f1 = m1a1

T – μ1N1 = m1a1

Karena N1 = m1g maka

T – μ1m1g = m1a1

a1	=	T – μ1m1g	………. Pers. (6a)
		m1

Tinjau Balok 2

ΣFY = 0

N2 – w2 = 0

N2 – m2g = 0

N2 = m2g

ΣFX = ma

T – f2 = m2a2

T – μ2N2 = m2a2

Karena N2 = m2g maka

T – μ2m2g = m2a2

a2	=	T – μ2m2g	………. Pers. (7a)
		m2

Tinjau Balok 3

ΣFY = ma

w3 – 2T = m3a3

m3g – 2T = m3a3

a3	=	m3g – 2T	………. Pers. (8a)
		m3

Untuk sistem 3 benda yang dihubungkan 2 katrol tetap dan 1 katrol bebas dengan percepatan masing-masing benda a1, a2dan a3 (lihat gambar di atas), maka besar percepatan a3 sama dengan setengah kali percepatan a1 ditambah percepatan a2. Secara matematis dituliskan sebagai berikut.

a3 = ½ (a1 + a2) ………. Pers. (9a)

Dengan demikian, apabila kita subtitusikan persamaan (6), (7) dan (8) ke persamaan (9) maka kita dapatkan persamaan berikut ini.

m3g – 2T	=	1	(	T – μ1m1g	+	T – μ2m2g	)
m3		2		m1		m2

Kedua ruas kita kalikan dengan 2

2m3g – 4T	=	T – μ1m1g	+	T – μ2m2g
m3		m1		m2

Kita samakan penyebut pada ruas kanan

2m3g – 4T	=	m2T – μ1m1m2g + m1T – μ2m1m2g
m3		m1m2

Kita gunakan asas perkalian silang, sehingga persamaan di atas menjadi ibarat berikut.

2m1m2m3g – 4m1m2T3 = m2m3T1 – μ1m1m2m3g + m1m3T2– μ2m1m2m3g

4m1m2T + m1m3T + m2m3T = 2m1m2m3g + μ1m1m2m3g +μ2m1m2m3g

(4m1m2 + m1m3 + m2m3)T = 2m1m2m3g + μ1m1m2m3g +μ2m1m2m3g

(4m1m2 + m1m3 + m2m3)T = m1m2m3g(2 + μ1 + μ2)

T	=	m1m2m3g(2 + μ1 + μ2)	………. Pers. (10a)
		4m1m2 + m1m3 + m2m3

Kemudian masukkan nilai-nilai yang diketahui dalam soal ke persamaan (10a).

T	=	(2)(3)(5)(10)[2 + 0,2 + 0,3]
		(4)(2)(3) + (2)(5) + (3)(5)

T	=	300(2,5)
		24 + 10 + 15

T = 750/49

T = 15 N

Jadi, besarnya gaya tegangan tali pada sistem katrol untuk kondisi bidang datar bernafsu yakni 15 Newton. Untuk memilih percepatan masing-masing balok, kita sanggup memasukkan nilai tegangan tali yang sudah kita peroleh ke dalam persamaan (6a), (7a) dan (8a).

Percepatan Balok 1

a1	=	T – μ1m1g
		m1

a1 = [15 – (0,2)(2)(10)]/2

a1 = (15 – 4)/2

a1 = 11/2

a1 = 5,5 m/s2

Jadi, besar percepatan balok 1 yakni 5,5 m/s2

Percepatan Balok 2

a2	=	T – μ2m2g
		m2

a2 = [15 – (0,3)(3)(10)]/3

a2 = (15 – 9)/3

a2 = 6/3

a2 = 2 m/s2

Jadi, besar percepatan balok 2 yakni 2 m/s2

Percepatan Balok 3

a3	=	m3g – 2T
		m3

a3 = [(5)(10) – (2)(15)]/5

a3 = (50 – 30)/5

a3 = 20/5

a3 = 4 m/s2

Jadi, besar percepatan balok 1 yakni 4 m/s2.

3. Dua balok yaitu balok m1 dan balok m2 dihubungkan dengan seutas tali melalui dua katrol. Balok m1 terletak pada bidang datar dan dihubungkan pada katrol tetap sedangkan balok m2 dihubungkan pada katrol bebas bergerak ibarat yang diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

Pada rangkaian ibarat pada gambar di atas, massa balok 1 dan 2 masing-masing yakni 3 kg dan 4 kg. Kedua katrol licin serta massa tali dan katrol diabaikan (g = 10 m/s2). Tentukanlah percepatan masing-masing balok dan gaya tegangan tali sistem apabila Bidang datar licin!

Penyelesaian

Diketahui:

m1 = 3 kg

m2 = 4 kg

g = 10 m/s2

Ditanyakan: Percepatan dan gaya tegangan tali

Jawab

Pertama kita akan memilih percepatan dan gaya tegangan tali untuk kondisi bidang datar daerah balok m2berada yakni licin. Karena kondisi bidang licin, maka tentunya sistem akan bergerak di mana balok 1 akan bergerak ke kanan sedangkan balok 2 akan bergerak ke bawah masing-masing dengan percepatan a1 dan a2. Diagram gaya untuk sistem ini diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

Sebelum sanggup memilih gaya tegangan tali, pertama kita tentukan nilai percepatannya terlebih dahulu. Caranya yakni dengan memilih resultan gaya masing-masing balok memakai Hukum Newton sebagai berikut.

Tinjau Balok 1

ΣFX = ma

T = m1a1 …………… Pers. (1b)

Tinjau Balok 2

ΣFY = ma

w2 – 2T = m2a2

m2g – 2T = m2a2 …………… Pers. (2b)

Subtitusikan persamaan (1b) ke persamaan (2b)

m2g – 2(m1a1) = m2a2

2m1a1 + m2a2 = m2g …………… Pers. (3b)

Untuk dua benda yang dihubungan pada katrol tetap dan katrol bebas, maka besar percepatan benda pada katrol tetap yakni dua kali besar percepatan benda pada katrol bebas. Secara matematis, kekerabatan percepatan balok 1 dan balok 2 yakni sebagai berikut.

a1 = 2a2 …………… Pers. (4b)

Dengan demikian, apabila kita subtitusikan persamaan (4b) ke dalam persamaan (3b), maka kita peroleh persamaan berikut.

2m1(2a2)+ m2a2 = m2g

4m1a2 + m2a2 = m2g

(4m1 + m2)a2 = m2g

a2 = m2g/(4m1 + m2) …………… Pers. (5b)

kita masukkan nilai-nilai yang diketahui dalam soal ke persamaan (5b).

a2 = (4)(10)/[(4)(3) + 4]

a2 = 40/(12 + 4)

a2 = 40/16

a2 = 2,5 m/s2

kemudian kita masukkan nilai a2 ke dalam persamaan (4b).

a1 = 2a2

a1 = 2(2,5)

a1 = 5 m/s2

Jadi, besar percepatan balok 1 yakni 5 m/s2 sedangkan besar percepatan balok 2 yakni 2,5 m/s2. Untuk memilih besar gaya tegangan tali sistem, maka kita sanggup memasukkan nilai a1 ke persamaan (1b) atau memasukkan nilai a2 ke persamaan (2b).

T = m1a1

T = (3)(5)

T = 15 N

Dengan demikian, besar gaya tegangan tali sistem yakni 15 Newton.